lunes, 16 de mayo de 2016
viernes, 13 de mayo de 2016
Agradecimientos
Al Ing. Diego Garcia docente de la corporación unificada nacional de educación superior CUN sede Fontibon por su enseñanza y su manera tan sencilla y particular compartir su conocimiento con las demás personas.
Ecuación cuadratica
Una ecuación de segundo grado 1 , 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.
Ecuación lineal
Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
Factorizacion
Factorización de un binomio cuadrado perfecto
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización
Raíz cuadrada del tercer término:Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)
Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos.
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:
Primer número
Segundo número
Multiplicados
Restados
2*2*2=8
3*3*3=27
8*27=216
27-8=19, no nos sirven
2*2*2*3=24
3*3=9
24*9=216
24-9=15, no nos sirven
2*2*3=12
2*3*3=18
18*12=216
18-12=6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).
Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).
Factorización por agrupación
Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by
Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.
En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.
Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)
En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).
En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).
De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).
Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.
Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3
Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )
Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).
Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].
De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]
Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización
Raíz cuadrada del tercer término:Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)
Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos.
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:
Primer número
Segundo número
Multiplicados
Restados
2*2*2=8
3*3*3=27
8*27=216
27-8=19, no nos sirven
2*2*2*3=24
3*3=9
24*9=216
24-9=15, no nos sirven
2*2*3=12
2*3*3=18
18*12=216
18-12=6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).
Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).
Factorización por agrupación
Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by
Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.
En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.
Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)
En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).
En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).
De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).
Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.
Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3
Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )
Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).
Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].
De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]
Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].
Productos Notables y Factor Comun
Los Productos Notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
El Factor Comun
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c (a + b) \,, es decir, el producto de la base a+b\, por la altura c\,, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca\, y cb\,
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
El Factor Comun
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c (a + b) \,, es decir, el producto de la base a+b\, por la altura c\,, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca\, y cb\,
Tipos de expresiones y sus operaciones
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios.
Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Suma o resta de monomios:
Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios:
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios:
Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios:
Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios:
Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
-4x4 2x3-x2+3x-4
0-2x3
+2x3
0+6x2
-6x2
0-8x
+8x
0-4
3. Igualdades notables
Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios.
Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Suma o resta de monomios:
Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios:
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios:
Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios:
Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios:
Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
-4x4 2x3-x2+3x-4
0-2x3
+2x3
0+6x2
-6x2
0-8x
+8x
0-4
3. Igualdades notables
Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Expresiones algebraicas comunes
Expresiones algebraicas comunes
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2
Un tercio de un número: x/3
Un cuarto de un número: x/4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x
La suma de dos números es 24: x y 24 − x
La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x
El producto de dos números es 24: x y 24/x
El cociente de dos números es 24: x y 24 · x
La Radicacion Y Sus Propiedades
La Radicacion
La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
Propiedades de la radicación
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
![\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}](https://upload.wikimedia.org/math/6/2/f/62ff232d8ae597f13efb5db26edc04cb.png)
Ejemplo:
La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.
Propiedades de la radicación
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
Ejemplo:
= 
= 
Raíz de un cociente
La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:
Ejemplo:
Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:
Ejemplo:
![\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}](https://upload.wikimedia.org/math/e/c/c/ecccb85a5a8ea3da5c9db742f2f8cd8a.png)
= ![\sqrt[27]{5}.](https://upload.wikimedia.org/math/6/0/4/60421728786d19fa3114266ce32140e2.png)
Potencia Y Propiedades De La Potenciacion
Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
Propiedades de una potencia
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes.
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes).
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente.
División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor.
Propiedades de una potencia
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes.
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes).
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente.
División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor.
Multiplicación Y División De Fracciones
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:
A- Por numerador el producto de los numeradores.
B- Por denominador el producto de los denominadores.
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:
A- Por numerador el producto de los numeradores.
B- Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:
A- Por numerador el producto de los extremos.
B- Por denominador el producto de los medios.
Operaciones Con Números Fraccionarios
Suma y resta de fracciones
A- Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
B- Con distinto denominador
1. Se reducen los denominadores a común denominador:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
A- Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
B- Con distinto denominador
1. Se reducen los denominadores a común denominador:
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente.
2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Los Tipos De Fracciones Y Representación En Una Recta Numerica
*Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
*Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.
*Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural.
Representación de los números fraccionarios sobre una recta numérica
Las fracciones propias o expresiones decimales cuya parte entera es cero, siempre estarán situadas entre 0 y 1. Para representarlas se divide la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador y posteriormente se determina el punto que representa las partes que indica el numerador. Si la fracción es un medio, la unidad se divide en dos partes iguales y el punto que corresponde a esa fracción es el que indica la mitad de la unidad. Para representar en la recta numérica una expresión decimal se puede expresar como fracción común (aunque no es necesario).
En muchas ocasiones se ubica por su significado. Las fracciones impropias, que pueden aparecer representadas como números mixtos o expresiones decimales donde la parte entera es diferente de cero, siempre se ubican en la recta numérica a la derecha de 1. Para ello se ubica primero el punto correspondiente a la parte entera y a partir de él, se determina en qué punto de la próxima unidad está ubicada la fracción o parte decimal del número, siendo este último, el lugar de la recta numérica donde queda situado este número fraccionario o fracción.
El menor número fraccionario es cero pero entre un número fraccionario y otro existen infinitos números más, luego no tienen antecesor ni sucesor. Se dice que este dominio numérico es un dominio denso.
*Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixto formado por un número natural más una fracción propia.
*Si el numerador de una fracción es múltiplo del denominador, la fracción representa un número natural.
Representación de los números fraccionarios sobre una recta numérica
Las fracciones propias o expresiones decimales cuya parte entera es cero, siempre estarán situadas entre 0 y 1. Para representarlas se divide la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador y posteriormente se determina el punto que representa las partes que indica el numerador. Si la fracción es un medio, la unidad se divide en dos partes iguales y el punto que corresponde a esa fracción es el que indica la mitad de la unidad. Para representar en la recta numérica una expresión decimal se puede expresar como fracción común (aunque no es necesario).
En muchas ocasiones se ubica por su significado. Las fracciones impropias, que pueden aparecer representadas como números mixtos o expresiones decimales donde la parte entera es diferente de cero, siempre se ubican en la recta numérica a la derecha de 1. Para ello se ubica primero el punto correspondiente a la parte entera y a partir de él, se determina en qué punto de la próxima unidad está ubicada la fracción o parte decimal del número, siendo este último, el lugar de la recta numérica donde queda situado este número fraccionario o fracción.
El menor número fraccionario es cero pero entre un número fraccionario y otro existen infinitos números más, luego no tienen antecesor ni sucesor. Se dice que este dominio numérico es un dominio denso.
Los Números Fraccionarios
Los números fraccionarios o fracciones comunes se forman al plantear una división entre dos números naturales, teniendo en cuenta que siempre el divisor debe ser diferente de cero.
En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.
En un número fraccionario o fracción, el denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador indica las partes que se toman.
lunes, 2 de mayo de 2016
Division
La división o cociente es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número.
D : d = c
Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Tipos de divisiones
1. División exacta:
Cuando el resto es cero.
D = d · c
2. División entera:
Cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
Propiedades de la división
1. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
2. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : a = 0
3. No se puede dividir por 0.
D : d = c
Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.
Tipos de divisiones
1. División exacta:
Cuando el resto es cero.
D = d · c
2. División entera:
Cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
Propiedades de la división
1. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
2. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : a = 0
3. No se puede dividir por 0.
Multiplicacion
Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado
(a · b) · c = a · (b · c)
2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
inverso
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación
1. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resultado
(a · b) · c = a · (b · c)
2. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
3. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
4. Elemento inverso:
Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
inverso
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad.
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
Resta
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta:
No es Conmutativa:
a − b ≠ b − a
a - b = c
Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta:
No es Conmutativa:
a − b ≠ b − a
Operaciones Básicas Con Números
Una operación es un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o expresiones.
Suma
La operación suma consiste en obtener el número total de elementos a partir dos o más cantidades.
a + b = c
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Propiedades de la suma
1. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
2. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
3. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
4.Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.
a − a = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
La suma de números naturales no cumple esta propiedad.
Los Números Imaginarios
En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: 5i es un número imaginario, así como i o -i son también números imaginarios.
Los Numeros Reales
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
Los Números Irracionales
un número irracional es un número que no puede ser expresado, como una fracción m⁄n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es cualquier número real que no es racional. Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) a periódico, como √7 = 2,645751311... no puede representar un número racional. A tales números se los nombra «números irracionales». Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros.
Los Números Racionales
Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
Los Numeros Enteros
Los números enteros son elementos de un conjunto de números que reúne a los positivos (1, 2, 3, ...), a los negativos opuestos de los anteriores: (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
Los Números Naturales
Los Números Naturales
Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto como también en operaciones elementales de cálculo.
Por definición convencional se dirá que cualquier miembro del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …} es un número natural, que en este caso empieza del uno ya que el cero no es considerado un número natural. De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo 1 .
Los Números Digitos
Los Números Dígitos
Número dígito es aquel que solo tiene una cifra.Nada más hay 10 números dígitos que son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.
Los Numeros
Los números
Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un sistema numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada
lunes, 25 de abril de 2016
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