lunes, 16 de mayo de 2016
viernes, 13 de mayo de 2016
Agradecimientos
Al Ing. Diego Garcia docente de la corporación unificada nacional de educación superior CUN sede Fontibon por su enseñanza y su manera tan sencilla y particular compartir su conocimiento con las demás personas.
Ecuación cuadratica
Una ecuación de segundo grado 1 , 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.
Ecuación lineal
Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.
Factorizacion
Factorización de un binomio cuadrado perfecto
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización
Raíz cuadrada del tercer término:Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)
Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos.
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:
Primer número
Segundo número
Multiplicados
Restados
2*2*2=8
3*3*3=27
8*27=216
27-8=19, no nos sirven
2*2*2*3=24
3*3=9
24*9=216
24-9=15, no nos sirven
2*2*3=12
2*3*3=18
18*12=216
18-12=6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).
Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).
Factorización por agrupación
Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by
Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.
En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.
Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)
En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).
En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).
De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).
Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.
Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3
Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )
Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).
Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].
De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]
Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].
Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior.
Ejemplo 1:
Factorizar a2-4ab+4b2
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:Factorización
Raíz cuadrada del tercer término:Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab
Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2.
Ejemplo 2:
Factorizar 36x2-18xy4+4y8
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Raíz cuadrada del tercer término: Factorización
Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y4x
Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual.
Diferencia de cuadrados
Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 1:
Factorizar 1-a2
Realizando los pasos que se mencionan en la regla, tenemos:
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1-a).
Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a)
Ejemplo 2:
Factorizar 16x2-25y4
Raíz cuadrada del minuendo: Factorización
Raíz cuadrada del sustraendo: Factorización
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (4x-5y2).
Por lo tanto: 16x2-25y4 =(4x+5y2)( 4x-5y2)
Factorización de trinomios
Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a-b)2 =(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Factorizar x2+2x-15
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 2x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de -15, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15 (x2+2x-15).
Para este caso particular los números son 5 y 3, ya que restándolos (5-3=2) dan dos y multiplicándolos (5*3=15) dan 15.
Por tanto, x2+2x-15 puede expresarse como: (x+3)(x-5).
Ejemplo 2:
Factorizar x2+6x-216
En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellos se pone signo positivo, porque 6x tiene signo +.
En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +6x por el signo de -216, tenemos que + por - da -.
Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos:
Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Factorización
Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216 (x2+6x-216). Estos números no se ven fácilmente, para hallarlos descomponemos el tercer término en sus factores primos.
Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números que buscamos. Así:
Primer número
Segundo número
Multiplicados
Restados
2*2*2=8
3*3*3=27
8*27=216
27-8=19, no nos sirven
2*2*2*3=24
3*3=9
24*9=216
24-9=15, no nos sirven
2*2*3=12
2*3*3=18
18*12=216
18-12=6, sirven
18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto es 216 (x2+6x-216).
Por tanto: x2+6x-216=(x+18)(x-12).
Factorización por agrupación
Para explicarla, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1:
Factorizar ax-ay-bx+by
Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos semejantes.
En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un factor común para lograr la factorización completa.
Aplicando la ley asociativa: (ax-ay)-(bx-by)
En el primer binomio (ax-ay) vemos que el factor común es a, por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).
En el segundo (bx-by) binomio el factor común es b, por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).
De esta forma: ax-ay-bx+by podemos expresarlo también como a(x-y)-b(x-y), a su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y), quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).
Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no importa en que orden se haya factorizado.
Ejemplo 2:
Factorizar x2 - y2 + x3 - y3
Aplicando la ley asociativa tenemos: (x2 - y2) + (x3 - y3 )
Si tomamos primero el primer binomio (x2 - y2), podemos ver que se trata de una diferencia de cuadrados, por tanto podemos expresarlo como (x-y)(x+y).
Tomando ahora el segundo binomio, tenemos que se trata de un binomio al cubo, por tanto podemos expresarlo como ( x - y )[ x2 +xy + y2].
De esta forma: x2 - y2 + x3 - y3=(x-y) (x + y ) + (x-y)[ x2 +xy + y2]
Podemos ver que (x-y) es el factor común del polinomio, por lo que finalmente podemos expresarlo de la siguiente forma:
(x -y)*[(x+y)+(x2+xy+y2)].
Productos Notables y Factor Comun
Los Productos Notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
El Factor Comun
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c (a + b) \,, es decir, el producto de la base a+b\, por la altura c\,, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca\, y cb\,
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
El Factor Comun
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
En la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c (a + b) \,, es decir, el producto de la base a+b\, por la altura c\,, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca\, y cb\,
Tipos de expresiones y sus operaciones
Clases de expresiones algebraicas:
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios.
Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Suma o resta de monomios:
Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios:
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios:
Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios:
Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios:
Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
-4x4 2x3-x2+3x-4
0-2x3
+2x3
0+6x2
-6x2
0-8x
+8x
0-4
3. Igualdades notables
Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2
1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x2
2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy
3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.
Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y
4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.
Polinomio es un conjunto de monomios.
Tendremos en cuenta lo siguiente:
1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.
3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Suma o resta de monomios:
Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.
Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.
Multiplicación de monomios:
Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4
División de monomios:
Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2
Suma de polinomios:
Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.
Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x
5x5+0x4+0x3 -x2 -x
12x5+0x4+3x3+3x2-3x
Multiplicación de polinomios:
Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.
Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2x
Q(x)= 2x3
P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4
División de polinomios:
Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x
-4x4 2x3-x2+3x-4
0-2x3
+2x3
0+6x2
-6x2
0-8x
+8x
0-4
3. Igualdades notables
Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.
Ej: (a+b)2= a2+2ab+b2
Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.
Ej: (a-b)2= a2-2ab+b2
Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.
Ej: (a+b)3= a3+3a2b+3b2a+b3
Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.
Ej: (a-b)3= a3-3a2b+3b2-b3
La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.
Ej: (a+b) (a-b)= a2-b2
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